上面那个网图,我借用说明下。
首先声明一点:格林公式只对单连通区域生效。
但是如何求复连通区域的 ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \iint_D(\frac {\parSEO靠我tial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y})dxdy ∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy ?
切割成两个单连通区域,然后对两个单连SEO靠我通区域分别使用格林公式。
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∬ D 1 ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y + ∬ D 2 ( ∂ Q ∂ SEO靠我x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ C 1 + C 2 P d x + Q d y \iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \fracSEO靠我 {\partial P} {\partial y}) dxdy= \iint_{D_1} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} SEO靠我{\partial y}) dxdy +\iint_{D_2} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) SEO靠我dxdy = \oint_{C_1+C_2}Pdx+Qdy ∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∬D1(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy+∬D2(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮C1SEO靠我+C2Pdx+Qdy
因为红色部分抵消。加入只剩下内部的顺时针线l和外部的逆时针线L.
则复连通区域下格林公式
为:
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L ( SEO靠我P d x + Q d y ) − ∮ l ( P d x + Q d y ) \iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partialSEO靠我 P} {\partial y}) dxdy= \oint_L(Pdx+Qdy) - \oint_l (Pdx+Qdy) ∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮L(Pdx+Qdy)−∮l(PSEO靠我dx+Qdy)
其中 L , l L,l L,l都是逆时针线。那么如果理解同济七版p208的例题4.
那个题首先:
∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y → ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y )SEO靠我 d x d y = 0 \frac {\partial Q} {\partial x} = \frac {\partial P} {\partial y} \to \iint_{D} (\frac SEO靠我{\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy =0 ∂x∂Q=∂y∂P→∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdSEO靠我y=0
进而推出:
∮ L ( P d x + Q d y ) − ∮ l ( P d x + Q d y ) = 0 → ∮ L ( P d x + Q d y ) = ∮ l ( P d x + Q SEO靠我d y ) \oint_L(Pdx+Qdy) - \oint_l (Pdx+Qdy) =0 \to \oint_L(Pdx+Qdy) = \oint_l (Pdx+Qdy) ∮L(Pdx+Qdy)−SEO靠我∮l(Pdx+Qdy)=0→∮L(Pdx+Qdy)=∮l(Pdx+Qdy)
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