中国剩余定理（孙子定理）

参考博客https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html

中国剩余定理

　　在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五SEO靠我数之剩三（除以5余3），七七数之  剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

    具体解法分三步：

找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的SEO靠我最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用SEO靠我70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就SEO靠我是符合条件的最小数。

　　就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。SEO靠我

首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3∗k+2（k>=0）3∗k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一SEO靠我个数。

　　有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得n1+n2的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有SEO靠我a%b=c，则有(a+k∗b)%b=c(k为非零整数)(a+k∗b)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变SEO靠我。这个是很好证明的。

以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角SEO靠我度出发，我们可推导出以下三点：

为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。为使n1+n2+n3的和满足除以7余2SEO靠我，n1和n2必须是7的倍数。

　　因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

n1除以3余2，且是5和7的公倍数。n2除以5余3，且是3和7的公倍数。n3除以7余2，且是3和5的公倍SEO靠我数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，SEO靠我n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍数模3下的逆元，再用逆元去乘余数。

这里又有一个数学公式SEO靠我，如果a%b=c，那么(a∗k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=k∗c(k>0)也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为k∗c。展开式中已证明。

最后，我们SEO靠我还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c，则有(a−k∗b)%SEO靠我b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

　　这样一来就得到了中国剩余定理的公式：

设正整数两两互素，则同余方程组

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

其中，而为模的逆元。

中国剩余定理扩展SEO靠我——求解模数不互质情况下的线性方程组：

　　普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

　　这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程：

　　那么得到：

我们需要求出一个最小的xxSEO靠我使它满足：

　　那么x1x1和x2x2就要尽可能的小，于是我们用扩展欧几里得算法求出x1x1的最小正整数解，将它代回a1+m1x1a1+m1x1，得到xx的一个特解x′x′，当然也是最小正整数解。

所以xx的SEO靠我通解一定是x′x′加上lcm(m1,m2)∗k，这样才能保证xx模m1和m2的余数是a1和a2。由此，我们把这个x′当做新的方程的余数，把lcm(m1,m2)当做新的方程的模数。（这一段是关键）

合并完SEO靠我成：

//中国剩余定理模板 typedef long long ll; ll china(ll a[],ll b[],int n)//a[]为除数，b[]为余数 SEO靠我 {ll M=1,y,x=0;for(int i=0;i<n;++i) //算出它们累乘的结果M*=a[i];for(int i=0;i<n;++i){ll w=M/a[i];ll tx=0;iSEO靠我nt t=exgcd(w,a[i],tx,y); //计算逆元x=(x+w*(b[i]/t)*x)%M; }return (x+M)%M; } #include<ioSEO靠我stream> #include<string> #include<cstdio> typedef long long ll; usinSEO靠我g namespace std; const int maxn=100000+5; int n; ll ai[maxn],bi[maxn]; SEO靠我 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {if(b==0){ x=1, y=0; return a;}ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);llSEO靠我 tp=x;x=y, y=tp-a/b*y;return gcd; } ll mult(ll a,ll b,ll mod){long long res=0;while(SEO靠我b>0){if(b&1) res=(res+a)%mod;a=(a+a)%mod;b>>=1;}return res; } ll excrt(){ll x,y;ll aSEO靠我ns=bi[1],M=ai[1];for(int i=2;i<=n;++i){ll a=M,b=ai[i],c=(bi[i]-ans%ai[i]+ai[i])%ai[i];ll gcd=exgcd(aSEO靠我,b,x,y);x=mult(x,c/gcd,b/gcd);ans+=x*M;M*=b/gcd;ans=(ans%M+M)%M;}return (ans%M+M)%M; } SEO靠我 int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i)cin>>ai[i]>>bi[i];cout<<excrt(); }