Gamma-伽马函数，伽马分布

一。 Γ \Gamma Γ分布

指数分布是两次事件发生的时间间隔

Γ \Gamma Γ分布是n倍的指数分布

即， Γ \Gamma Γ分布表示发生n次（ α \alpha α次）事件的时间间隔的概率分布。

其SEO靠我实 Γ \Gamma Γ分布 就是Possion分布在正实数集上的连续化版本

P o s s i o n ( X = k ∣ λ ) = λ k e − λ k ! Possion(X=k|\lambdSEO靠我a )=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda} }{k!} Possion(X=k∣λ)=k!λke−λ​

可以看做横坐标是k，纵坐标便是X=k的概率分布： P o s s i o nSEO靠我 ( X = k ∣ λ Possion(X=k|\lambda Possion(X=k∣λ)， λ \lambda λ为一个常数，代表单位时间内事件发生的次数。

回忆一下Poisson分布的直观含义：SEO靠我

随机变量X代表出生婴儿的个数，P {X=k} 代表出生k个婴儿的概率，

λ \lambda λ为已知数，代表平均单位时间出生婴儿的个数。

求t时间内出生k个婴儿的概率：P {X=k} ，令t=1，就是

这个SEO靠我公式 P o s s i o n ( X = k ∣ λ ) = λ k e − λ k ! Possion(X=k|\lambda )=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda} }{SEO靠我k!} Possion(X=k∣λ)=k!λke−λ​

因此Possion公式的直观意义就是：

已知单位时间内平均出生 λ \lambda λ个婴儿， 得到单位时间内出生k个婴儿的概率。

如果将k看成是一个SEO靠我变量， Possion公式就是单位时间内出生婴儿个数的概率分布。

直观理解，当然是单位时间出生 λ \lambda λ个婴儿的概率最大。

在 P o i s s o n 分 布 中 ， λ 是 一 个 已SEO靠我 知 数 ， 是 一 个 常 数 ， {\color{Red}{ 在Poisson分布中，\lambda 是一个已知数，是一个常数，}} 在Poisson分布中，λ是一个已知数，是一个常数，

如 果 我SEO靠我 们 把 λ 看 成 一 个 变 数 ， 假 设 是 x {\color{Red}{如果我们把\lambda看成一个变数，假设是x}} 如果我们把λ看成一个变数，假设是x

那 么 得 到 的 分 布 就SEO靠我 叫 G a m m a 分 布 {\color{Red}{那么得到的分布就叫Gamma分布}} 那么得到的分布就叫Gamma分布，显然Gamma比Poisson更高一维的分布。

= > 将 λ SEO靠我转 为 一 个 连 续 实 数 x {\color{Red}{=> 将 \lambda 转为一个连续实数 x}} =>将λ转为一个连续实数x

在Gamma分布的密度中取 α = k + 1 \alSEO靠我pha =k+1 α=k+1，得

G a m m a ( x ∣ α = k + 1 ) = x k e − x Γ ( k + 1 ) = x k e − x k ! Gamma(x|\alpha =SEO靠我k+1)=\frac{x^{k} e^{-x} }{\Gamma (k+1)} = \frac{x^k e^{-x } }{k!} Gamma(x∣α=k+1)=Γ(k+1)xke−x​=k!xke−SEO靠我x​

G a m m a ( x , k ) = x k e − x k ! Gamma(x,k) = \frac{x^k e^{-x } }{k!} Gamma(x,k)=k!xke−x​

由此可见，GSEO靠我amma函数是一个关于x和k的二维概率分布。x是单位时间内事件发生的平均次数，k是单位时间内事件发生的某一特定次数，得到类似于下图，可见，它是一个指数分布，k与越接近，概率越大，在k与x相等的地方，概SEO靠我率达最大值。（如果将x固定一个常数，就是Poisson分布。）

所以，Gamma分布与Possion分布在数学形式上是一致的，只是Poisson分布是离散的，Gamma分布是连续的，可以直观的认为GamSEO靠我ma分布是Poission分布在正实数集上的连续化版本。

二。 Γ \Gamma Γ函数

定义

Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − x x s − 1 d x ( s > 0 ) \GammaSEO靠我 (s)=\int_{0}^{+\infty }e^{-x}x^{s-1}dx(s>0) Γ(s)=∫0+∞​e−xxs−1dx(s>0)

性质

s>0时，此反常积分收敛 Γ ( s + 1 ) =SEO靠我 s Γ ( s ) ( s > 0 ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) (s>0) Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)，特别 Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma(n+1)SEO靠我=n! Γ(n+1)=n!

3)当 s → 0 + s\to0+ s→0+时， Γ ( s ) → + ∞ \Gamma(s) \to +\infty Γ(s)→+∞ Γ ( s ) Γ ( 1 − sSEO靠我 ) \Gamma(s)\Gamma(1-s) Γ(s)Γ(1−s)= π s i n π s ( 0 &lt; s &lt; 1 ) , 则 Γ ( 1 2 ) = π \frac{\pi }{siSEO靠我n\pi s} (0&lt;s&lt;1), 则\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} sinπsπ​(0<s<1),则Γ(21​)=π ​

$\Gamma(n) = (n-1)SEO靠我! $ ， Gamma(5+1) = 5! =120

$\Gamma(s) = (s-1)! $ ， 5Gamma(5) = 54! =120

三。 Γ \Gamma Γ函数应用

k ! = ∫ 0 ∞ xSEO靠我 k e − x d x k!=\int_{0}^{\infty }x^ke^{-x}dx k!=∫0∞​xke−xdx

在 Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x \GamSEO靠我ma(s)=\int_{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx Γ(s)=∫0∞​xs−1e−xdx 中，

作x=u^2的代换可得

Γ ( s ) = 2 ∫ 0 ∞ e − u 2 u SEO靠我2 s − 1 d u \Gamma (s)=2\int_{0}^{\infty }e^{-u^2}u^{2s-1}du Γ(s)=2∫0∞​e−u2u2s−1du

再令 t=2s-1，即有

∫ 0 ∞ SEO靠我e − u 2 u t d u \int_{0}^{\infty }e^{-u^2}u^{t}du ∫0∞​e−u2utdu = 1 2 Γ ( 1 + t 2 ) \frac{1}{2}\GammaSEO靠我(\frac{1+t}{2}) 21​Γ(21+t​), t>-1

特别，令 s = 1 2 s=\frac{1}{2} s=21​， 可得概率论中常用积分

泊松积分

泊松积分： ∫ − ∞ ∞ e − xSEO靠我 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty }e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞∞​e−x2dx=π ​ 是一个很重要的结论，在概率论中有重要应用。

∫ 0 ∞ SEO靠我e − x 2 d x = π 2 \int_{0}^{\infty }e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} ∫0∞​e−x2dx=2π ​​

∫ − ∞ ∞ e − x 2 SEO靠我d x = π \int_{-\infty}^{\infty }e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞∞​e−x2dx=π ​

（可以用正态分布的公式证明，正态分布公式 Φ ( x ) = SEO靠我1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t = 1 \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{SEO靠我2}}dt=1 Φ(x)=2π ​1​∫−∞∞​e−2t2​dt=1）

参考链接：

Gamma分布Wiki百科

poisson-gamma-exponential 泊松-Gamma以及指数分布的关系

GammSEO靠我a distribution in R语言

MATLAB Gamma

神奇的Gamma函数（scipy）